Примеры решения задач выпуклого программирования

На главную страницу

Нелинейное программирование

В конец страницы

15.3.  ВЫПУКЛОЕ   ПРОГРАММИРОВАНИЕ

       Функция , заданная на выпуклом множестве Х, называется  выпуклой,  если  для любых двух точек  из Х и любого  выполняется соотношение

         . (15.4)

Функция , заданная на выпуклом множестве Х, называется  вогнутой,  если  для любых  двух  точек  из Х и любо-

го  выполняется соотношение

          . (15.5)

Если  неравенства  (15.4)  и  (15.5)  считать  строгими  и  они  выполняются при , то функция  является строго выпуклой (строго вогнутой). Выпуклость и вогнутость функций определяется только относительно выпуклых множеств.

 

         

                                                                    Рисунок 15.1.

 Если , – выпуклые (вогнутые) функции на некотором выпуклом множестве , то функция  ‑ также выпуклая (вогнутая) на Х.

Основные свойства выпуклых и вогнутых функций:

          1. Множество точек минимума выпуклой функции, заданной на выпуклом множестве, ‑ выпукло.

2. Пусть  ‑ выпуклая функция, заданная на замкнутом выпуклом множестве . Тогда локальный минимум  на Х является и глобальным.

3. Если глобальный минимум достигается в двух различных точках, то он достигается и в любой точке отрезка, соединяющего данные точки.

4. Если  ‑ строго выпуклая функция, то ее глобальный минимум на выпуклом множестве Х достигается в единственной точке.

5. Пусть функция  ‑ выпуклая функция, заданная на выпуклом множестве Х, и, кроме того, она непрерывна вместе со своими частными производными первого порядка во всех внутренних точках Х. Пусть  – точка, в которой . Тогда в точке  достигается локальный минимум, совпадающий с глобальным минимумом.

6. Множество точек глобальных (следовательно, и локальных) минимумов выпуклой функции , заданной на ограниченном замкнутом выпуклом множестве Х, включает хотя бы одну крайнюю точку; если множество локальных минимумов включает в себя хотя бы одну внутреннюю точку множества Х, то   является функцией-константой.

Рассмотрим задачу нелинейного программирования

                                                                           (15.6)

                                                                   (15.7)

                                                                                         (15.8)

Для  решения  сформулированной  задачи  в  такой  общей  постановке  не  существует  универсальных методов. Однако для отдельных классов задач, в которых сделаны дополнительные ограничения относительно свойств функций , разработаны эффективные методы их решения.

Говорят, что множество допустимых решений задачи (15.6) – (15.8) удовлетворяет примеры решения задач выпуклого программирования условию регулярности, или условию Слейтера, если существует по крайней мере одна точка , принадлежащая области допустимых решений такая, что . Задача (15.6) – (15.8)  называется задачей выпуклого программирования, если функция  является вогнутой (выпуклой), а функции  – выпуклыми. Функцией Лагранжа задачи выпуклого программирования (15.6) – (15.8)  называется функция

       где  – множители Лагранжа.

Точка  называется седловой точкой функции Лагранжа, если

       для всех  и .

Теорема 15.1 (Куна – Таккера).  Для   задачи   выпуклого   программирования   (15.6) – (15.8),   множество   допустимых   решений   которой   обладает свойством  регулярности,    является  оптимальным  решением  тогда  и только тогда, когда существует такой вектор  , что  – седловая точка функции Лагранжа.

Если предположить, что функции  и  непрерывно дифференцируемы, то теорема Куна – Таккера может быть дополнена аналитическими выражениями, определяющими необходимые и достаточные условия того, чтобы точка  была седловой точкой функции Лагранжа, т. е. являлась решением задачи выпуклого программирования:

где  и  – значения соответствующих частных производных функции Лагранжа, вычисленных в седловой точке.

 

Назад     К началу страницы     Вперед


Источник: http://www.math.mrsu.ru/text/courses/method/vipukloe_programmirovanie.htm




Примеры решения задач выпуклого программирования Решение задачи выпуклого программирования
Примеры решения задач выпуклого программирования 3.3. Выпуклое программирование Электронная
Примеры решения задач выпуклого программирования Линейное программирование Википедия
Примеры решения задач выпуклого программирования Задача выпуклого программирования
Примеры решения задач выпуклого программирования Выпуклое программирование
Примеры решения задач выпуклого программирования 1С:Предприятие 8.2. Решение бухгалтерских задач
Cтудентам и школьникам книги сопротивление маттериалов Билеты, ответы и задания по римскому праву. 2015 - Римское право ГДЗ (решебники) 4 клас: відповіді до підручників GDZ4YOU ГДЗ Решебники История 8. - m ГДЗ по Биологии - m ГДЗ по биологии 7 класс рабочая тетрадь Захарова ГДЗ по математике 3 класс Рудницкая, Юдачева